Даниил Шафран получил начальное музыкальное образование при помощи отца, главы виолончельной группы оркестра Лениградской филармонии и матери — пианистки. В 10 лет Даниил был принят в детскую группу при Ленинградской консерватории под руководством А. Штримера, где вскоре состоялось его первое публичное выступление в Большом зале. Через год он уже выступал с оркестром Ленинградской филармонии. Тогда, в 1934 году, в Ленинград приезжал Яша Хейфец и Даниила представили ему. Однако сыграть для маэстро на следующий день, как планировалось, мальчику не довелось — поднялась температура. Переломным для юного музыканта стал 1937 год: он стал победителем Всесоюзного конкурса скрипачей и виолончелистов в Москве, состоялась его первая запись — вариаций на тему рококо, правительством ему была подарена виолончель Амати 1630 года, с которой музыкант не расстанется всю жизнь, о которой будет говорить с нежностью: "моя живая душа, истинный друг, неотъемлемая часть меня самого".
Во время войны Даниил Шафран был эвакуирован из Ленинграда в Новосибирск, где с оркестром Ленинградской филармонии впервые исполнил многие виолончельные концерты, которые надолго войдут в его репертуар. В 1943 году он переехал в Москву. Там начались трудные будни — выступления, отработка техники и аппликатуры без помощи учителя и отца, работа над репертуаром, осознание приоритета сложных произведений, взлеты и неудачи. В работе музыканта поддерживала жена - Нина Мусинян.
После войны последовал ряд блестящих побед и премий на международных конкурсах, международные гастроли. В 1950 году Шафран окончил консерваторию, класс Александра Штримера, яркого педагога и всесторонне образованного интеллегента, учителя и друга отца Шафрана, который стал и личным другом Даниила. Однако сам Шафран не захотел работать в консерватории и вообще никогда официально не преподавал — он считал невозможным и неправильным совмещение активной концертной деятельности с эфективной работой со студентами. Однако он часто давал мастер-классы, делился секретами, говорил о том, что единого рецепта мастерства нет, что "можно обучать по-всякому, если итог — красивое звучание и подлинный артистизм". Сам он никогда не играл произведения, которые не соответствовали его вкусу и характеру, но в том, что играл, был чрезвычайно требователен и к себе, и к аккомпаниаторам, и сам говорил, что работающий с ним аккомпаниатор должен выражать его видение произведения, а не своё собственное. Даниил Шафран участвовал и председательствовал в жюри многих виолончельных конкурсов, несмотря на сдержанное к ним отношение ("Мы знаем о многих музыкантах, кто потерпел неудачу на конкурсах, но впоследствии стал превосходным артистом, и наоборот." — Д. Шафран).
По семейному преданию, отец Даниила Шафрана прервал репетицию концерта Гайдна, чтобы срочно ехать в больницу с женой, у которой начались схватки. Даниил Борисович поясняет: "Теперь, всякий раз, когда я играю этот пассаж Гайдна, и не доволен собой, в оправдание я говорю: "Я родился, не закончив до конца репетицию."